Yhtälö - mikä se on? Termin määritelmä, esimerkkejä

Koulun matematiikan puitteissa lapsi kuulee ensin "yhtälö". Mikä tämä on, yritetään selvittää se yhdessä. Tässä artikkelissa tarkastelemme ratkaisumenetelmiä ja -menetelmiä.

Matematiikka. yhtälö

Aluksi ehdotamme, että käsittelet itseäsikäsite, mikä se on? Kuten monet matematiikan oppikirjat sanovat, yhtälö on joitain ilmaisuja, joiden välillä on väistämättä yhtäläinen merkki. Näissä ilmaisuissa on kirjaimia, ns. Muuttujia, joiden merkitys on löydettävä.

Mikä on muuttuja? Se on järjestelmän ominaisuus, joka muuttaa sen merkityksen. Selkeä esimerkki muuttujista ovat:

• ilman lämpötila;
• lapsen kasvu;
• paino ja niin edelleen.

Matematiikassa ne merkitään esimerkiksi kirjaimilla,x, a, b, c ... Yleensä matemaattinen työ kuulostaa näin: löytää yhtälön arvo. Tämä tarkoittaa, että sinun on löydettävä näiden muuttujien arvo.

laji

Kaava (joka on mitä olemme purkaneet edellisessä kappaleessa) voi olla seuraavanlainen muoto:

• lineaarinen;
• neliöitä;
• kuutiometriä;
• algebralliset;
• transsendenttinen.

Tarkempaan tutustumiseen kaikkiin lajeihin harkitsemme jokaista erikseen.

Lineaarinen yhtälö

Tämä on ensimmäinen sellainen, että oppilaat oppivat tuntemaan. Ne on ratkaistu melko nopeasti ja yksinkertaisesti. Joten lineaarinen yhtälö, mikä se on? Tämä on lomakkeen ilmaus: ax = c. Joten se ei ole erityisen selvä, joten tuloksena on joitain esimerkkejä: 2h = 26; 5x = 40; 1,2 x = 6.

Tarkastellaan esimerkkejä yhtälöistä. Tätä varten meidän on kerättävä kaikki tunnetut tiedot toiselta puolelta ja tuntemattomat toisessa: x = 26/2; x = 40/5; x = 6 / 1,2. Tässä käytimme matematiikan alkeellisia sääntöjä: a * c = e, tästä c = e / a; a = e / c. Jotta yhtälön ratkaisu saadaan päätökseen, suoritamme yhden toimen (meidän tapauksessamme, jako) x = 13; x = 8; x = 5. Nämä olivat esimerkkejä monistamisesta, nyt tarkastellaan vähennyslaskua ja lisäystä: x + 3 = 9; 10x-5 = 15. Siirrämme tunnetut tiedot toiselle puolelle: x = 9-3; x = 20/10. Teemme viimeisen toimenpiteen: x = 6; x = 2.

Myös lineaaristen yhtälöiden variantit ovat mahdollisia, missäkäytetään useampaa kuin yhtä muuttujaa: 2h-2u = 4. Jotta voidaan ratkaista, on tarpeen lisätä 2y jokaiseen osaan, saamme 2x-2y + 2y = 4-2y, kuten olemme nähneet, vasemmalla puolella merkin -2y ja + 2y peruuttaa, kun meillä on: 2x = 4 -2u. Viimeinen vaihe jakaa jokaisen osan kahteen, saat vastauksen: X on kaksi miinus peliin.

Ongelmia yhtälöissä ilmenee jo vuonnaAhmed papyri. Tässä on yksi tehtävistä: numero ja neljäs osa antavat yhteensä 15. Jotta se voidaan ratkaista, kirjoitamme seuraavan yhtälön: x plus yksi neljäs x on 15. Näemme vielä yhden esimerkin lineaarisesta yhtälöstä, ratkaisun perusteella saadaan vastaus: x = 12. Mutta tämä ongelma voidaan ratkaista toisella tavalla, nimittäin egyptiläistä tai, kuten sitä kutsutaan toisella tavalla, olettamismenetelmä. Papyrus käyttää seuraavaa ratkaisua: vie neljä ja neljäs osa, toisin sanoen yksi. Kaiken kaikkiaan he antavat viisi, nyt viisitoista on jaettava summaan, saamme kolme, viimeinen toiminto kolme kerrotaan neljällä. Saamme vastauksen: 12. Miksi jakamme viidellätoista viidellä päätöksellä? Joten tiedämme kuinka monta kertaa viisitoista, eli tulosta, jota meidän on saatava, alle viisi. Tämä oli tapa ratkaista ongelmia keskiajalla, häntä kutsuttiin valheelliseksi menetelmäksi.

Neliarvoiset yhtälöt

Aiemmin käsiteltyjen esimerkkien lisäksi on muita. Mitkä? Neliöllinen yhtälö, mikä on? Heillä on muoto ax²+ bx + c = 0. Jotta voit ratkaista ne, sinun on tutustuttava tiettyihin käsitteisiin ja sääntöihin.

Ensinnäkin meidän on löydettävä erottava kaava: b²-4ac. Ratkaisun tuloksena on kolme vaihtoehtoa:

• erottelija on suurempi kuin nolla;
• vähemmän kuin nolla;
• on nolla.

Ensimmäisessä muunnelmassa voimme saada vastauksen kahdesta juuresta, jotka löytyvät kaavasta: -b + -kriteerit erotukselta jaettuna kahdella ensimmäisellä kertoimella eli 2a.

Toisessa tapauksessa yhtälöllä ei ole juuria. Kolmannessa tapauksessa juuri löytyy kaava: -b / 2a.

Katsokaamme esimerkkiä kvadraalisesta yhtälöstä lisääYksityiskohtainen tuttavuus: kolme X potenssiin miinus neljätoista X miinus viisi nolla. Aluksi, kuten edellä on kirjoitettu, etsii erotteluanalyysi, tässä tapauksessa se on yhtä suuri kuin 256. Huomaa, että tuloksena oleva määrä on suurempi kuin nolla, sen vuoksi, pitäisi saada vastaus, joka koostuu kahdesta juuret. Korvaamme vastaanotetun erottimen kaavaon juurien löytämiseksi. Tuloksena meillä on: X on yhtä suuri kuin viisi ja miinus kolmannes.

Erikoistapaukset kvadraattisissa yhtälöissä

Nämä ovat esimerkkejä, joissa jotkin arvot ovat nolla (a, b tai c) ja mahdollisesti useita.

Otetaan esimerkiksi seuraava yhtälö, jokaon neliö: kaksi x neliössä on nolla, täällä näemme, että b ja c ovat nolla. Yritetään ratkaista se, sillä jakamalla molemmat yhtälöt kahteen osaan, meillä on: x²= 0. Tuloksena saadaan x = 0.

Toinen tapaus 16x²-9 = 0. Tässä vain b = 0. Ratkaisemme yhtälön, siirtäkää vapaa kerroin oikealle puolelle: 16x²= 9, nyt jaamme jokaisen osan kuuteentoista: x²= yhdeksäntoista. Koska neliössä on x, juuren 9/16 voi olla joko negatiivinen tai positiivinen. Vastaus kirjoitetaan seuraavasti: X on yhtä kuin plus / miinus kolme neljäsosaa.

Vastauksen muunnelma on mahdollinen, koska juuriyhtälöä ei. Katsotaan esimerkkiä: 5x²+ 80 = 0, tässä b = 0. Voit ratkaista vapaan aikavälin, heittää sen oikealle puolelle, kun nämä toimenpiteet saamme: 5x²= -80, jaa nyt jokainen osa viiteen osaan: x²= miinus 16. Jos jokin numero on neliö, emme saa negatiivista arvoa. Siksi vastauksemme on: juuri yhtälö ei.

Trinomin hajoaminen

mukaan asteen yhtälöt tehtävä voi kuulostaa toisella tavalla: hajottamaan asteen trinomia osaksi tekijöistä. Tämä voidaan tehdä käyttämällä seuraavaa kaavaa: a (x-x₁) (x-x₂). Tätä varten, kuten tehtävän toisessa muunnelmassa, on löydettävä erottava.

Harkitse seuraava esimerkki: 3x²-14x-5, hajota trinomialuku kertoaviin. Löytämään erotteluanalyysi käyttämällä jo tunnettuja kaavan, se on havaittu olevan 256. Nyt huomata, että 256 on suurempi kuin nolla, sen vuoksi, yhtälö on kaksi juuret. Me löydämme ne, kuten edellisessä kappaleessa, meillä: x = viisi ja miinus kolmannes. Käytämme kaavaa trinomialin laajentamiseksi kertoimeksi: 3 (x-5) (x + 1/3). Toisessa kiinnikkeen meillä yhtäsuuruusmerkin, koska kaava on arvoltaan miinusmerkki, ja juuri, sekin on negatiivinen, käytetään perustiedot matematiikan, määrän meillä plusmerkki. Yksinkertaisuuden vuoksi kerrotaan ensimmäinen ja kolmas termi yhtälön päästä eroon jakeet: (x-5) (x + 1).

Jaksot, jotka pienentävät kvadraattista arvoa

Tässä kappaleessa opimme ratkaisemaan monimutkaisemmat yhtälöt. Aloitetaan esimerkiksi:

(x² - 2x)² - 2 (x² - 2x) - 3 = 0. Voidaan nähdä päällekkäisiä elementtejä: (x² - 2x), on kätevää korvata setoinen muuttuja ja sitten ratkaista tavallinen neliöllinen yhtälö, huomaamme välittömästi, että tässä tehtävässä saamme neljä juuria, tämä ei saisi pelotella sinua. Me tarkoitetaan muuttujan toistumista a. Saamme: a²-2a-3 = 0. Seuraava askel on löytää uuden yhtälön syrjintä. Saamme 16, löydämme kaksi juuria: miinus yksi ja kolme. Muistamme, että teimme korvaavan, korvaamme nämä arvot, lopulta meillä on yhtälöt: x² - 2x = -1; x² - 2x = 3. Ratkaisemme ne ensimmäisessä vastauksessa: x on yhtä, toisessa: x on yhtä kuin miinus yksi ja kolme. Kirjoitamme vastauksen seuraavasti: plus / miinus yksi ja kolme. Vastaus kirjoitetaan pääsääntöisesti nousevaan järjestykseen.

Kuutioyhtälöt

Katsotaanpa vielä yksi vaihtoehto. Keskustelemme kuutioyhtälöistä. Heillä on muoto: ax ³ + b x ² + cx + d = 0. Esimerkkejä yhtälöistä, joita harkitsemme alla, mutta alussa pieni teoria. Heillä voi olla kolme juuria, koska on olemassa kaava syrjäyttäjän löytämiseksi kuutioyhtälölle.

Harkitse esimerkki: 3x³+ 4x²+ 2x = 0. Miten ratkaista se? Voit tehdä tämän vain sijoittamalla x sulkeisiin: x (3x²+ 4x + 2) = 0. Meidän on vain laskettava yhtälön juuret suluissa. Sulkeissa olevan neliöllisen yhtälön erottelija on alle nolla, tällä perusteella lausekkeella on juuri: x = 0.

Algebra. yhtälö

Menemme seuraavaan lomakkeeseen. Seuraavaksi tarkastellaan lyhyesti algebrallisia yhtälöitä. Yksi tehtävistä kuulostaa seuraavasti: ryhmittämällä menetelmä 3x-kertoimiksi⁴+ 2x³+ 8x²+ 2x + 5. Sopivin tapa on seuraava ryhmittely: (3x⁴+ 3x²) + (2x³+ 2x) + (5x²5). Huomaamme, että Sx² ensimmäisestä lausekkeesta esittelemme summan 3x² ja 5x². Nyt poistetaan kummastakin kiinnikkeestä yhteinen tekijä 3x²(x2 + 1) + 2x (x²+1) +5 (x²1). Näemme, että meillä on yhteinen kerroin: x neliöllä plus yksi, otamme sen suluista: (x²+1) (3x²+ 2x + 5). Edelleen hajoaminen on mahdotonta, koska molemmilla yhtälöillä on negatiivinen erottelija.

Transsendenttiset yhtälöt

Ehdotamme käsitellä seuraavaa tyyppiä. Nämä ovat yhtälöitä, jotka sisältävät transsendentaalisia funktioita, nimittäin logaritmista, trigonometrista tai eksponentiaalista. Esimerkkejä: 6sin²x + tgx-1 = 0, x + 5lgx = 3, ja niin edelleen. Miten heidät ratkaistaan, opit trigonometrian kulusta.

toiminto

Viimeinen vaihe on tarkastella yhtälön käsitettätoiminto. Toisin kuin aikaisemmat versiot, tätä tyyppiä ei ole ratkaistu, ja siihen rakennetaan kaavio. Tätä varten yhtälö analysoidaan hyvin, löytää kaikki tarvittavat kohdat rakennetta varten, laskea pienimmän ja suurimman pistemäärän.