Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmät. Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden homogeeniset järjestelmät

Takaisin kouluun, jokainen meistä opiskeli yhtälöitä ja,varmasti yhtälöjärjestelmää. Mutta monet eivät tiedä, että on olemassa useita tapoja ratkaista ne. Tänään keskustelemme yksityiskohtaisesti kaikista menetelmistä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän ratkaisemiseksi, joka koostuu useammasta kuin kahdesta tasosta.

tarina

Tähän mennessä on tunnettua, että artratkaista yhtälöt ja niiden järjestelmät ovat peräisin antiikin Babylon ja Egypti. Kuitenkin tasa-arvo tavallisessa muodossa meille ilmestyi sen jälkeen, kun oli ilmestynyt tasa-arvon merkki "=", jonka englanninkielinen matemaatikko Record esitteli vuonna 1556. Muuten tämä merkki valittiin syystä: se merkitsee kahta rinnakkaista samanarvoista segmenttiä. Tosiaankin paras esimerkki tasa-arvosta ei voida kuvitella.

Nykyajan aakkosellinen perustajaTuntemattomien merkkien ja tutkintojen merkit ovat ranskalainen matemaatikko François Viet. Sen nimitykset olivat kuitenkin merkittävästi erilaiset kuin nykyään. Esimerkiksi tuntemattoman numeron neliö on merkitty kirjaimella Q (latina "quadratus") ja kuutio kirjaimella C (latin "cubus"). Nämä nimitykset näyttävät nyt epämiellyttäviltä, ​​mutta sitten se oli ymmärrettävin tapa kirjoittaa lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmiä.

Kuitenkin tällaisen liuoksen menetelmän haittaettä matemaatikot pitivät vain positiivisia juuria. Ehkä tämä johtuu siitä, että negatiivisilla arvoilla ei ollut käytännön sovellusta. Joka tapauksessa Italian matemaatikot Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ja Rafael Bombelli 1600-luvulla olivat ensimmäisiä, jotka pohtivat negatiivisia juuria. Moderni muoto, tärkein menetelmä kvadraattisten yhtälöiden ratkaisemiseksi (syrjinnän kautta) luotiin vain 1700-luvulla Descartesin ja Newtonin teosten ansiosta.

1800-luvun puolivälissä Sveitsin matemaatikko GabrielKramer löysi uuden tavan helpottaa ratkaisemalla lineaaristen yhtälöiden järjestelmiä. Tätä menetelmää kutsuttiin sen jälkeen hänen nimensä mukaisesti ja tähän päivään käytämme sitä. Mutta me puhumme Cramerin menetelmästä vähän myöhemmin, mutta nyt keskustelemme lineaarisista yhtälöistä ja menetelmistä niiden ratkaisemiseksi erikseen järjestelmästä.

Lineaariset yhtälöt

Lineaariset yhtälöt ovat yksinkertaisimmat yhtälöt muuttujalla (muuttujilla). Ne luokitellaan algebriseksi. Lineaariset yhtälöt on kirjoitettu yleisessä muodossa seuraavasti: a₁* x₁+ a_{2 *}x₂+ ... a_n* x_n= b. Järjestelmien ja matriisien kokoamista varten tarvitaan niiden muodostaminen tässä muodossa.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmät

Tämän termin määritelmä on: Tämä on joukko yhtälöitä, joilla on yhteisiä tuntemattomia määriä ja yhteinen ratkaisu. Koulussa pääsääntöisesti kaikki ratkaistiin järjestelmillä, joissa oli kaksi tai kolme yhtälöä. Mutta on olemassa järjestelmiä, joissa on neljä tai useampia komponentteja. Katsotaan ensin, miten kirjoittaa ne, jotta tulevaisuudessa olisi kätevää ratkaista. Ensinnäkin lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmät näyttävät paremmilta, jos kaikki muuttujat kirjoitetaan x: ksi vastaavalla indeksillä: 1,2,3 ja niin edelleen. Toiseksi on tarpeen tuoda kaikki yhtälöt kanoniseen muotoon: a₁* x₁+ a_{2 *}x₂+ ... a_n* x_n= b.

Kaikkien näiden toimien jälkeen voimme alkaa kertoa, miten löytää ratkaisu lineaaristen yhtälöiden järjestelmille. Tätä varten tarvitsemme matriiseja.

matriisi

Matriisi on taulukko, joka koostuu merkkijonoista jasarakkeita, ja niiden risteyksessä ovat sen elementtejä. Tämä voi olla joko erityisiä arvoja tai muuttujia. Useimmiten elementtien merkitsemiseksi ne sijoitetaan alaindeksien alapuolelle (esimerkiksi a₁₁ tai a₂₃). Ensimmäinen hakemisto on rivinumero, ja toinen on sarake. Yli matriisit, kuten myös minkä tahansa muun matemaattisen elementin, on mahdollista suorittaa erilaisia ​​toimintoja. Näin voit:

1) Vähennä ja lisää samankokoiset taulukot.

2) Kerro matriisi numerolla tai vektorilla.

3) Transpose: muuntaa matriisin rivit sarakkeiksi ja sarakkeiksi - rivillä.

4) Kerro matriisit, jos yhden rivin rivien lukumäärä on yhtä suuri kuin toisen sarakkeiden lukumäärä.

Keskustelemme kaikista näistä tekniikoista tarkemmin, koska nehyödyttää meitä tulevaisuudessa. Matriisien vähentäminen ja lisääminen on hyvin yksinkertaista. Koska käytämme samankokoisia matriiseja, kunkin taulukon jokainen elementti korreloi toisen elementin kanssa. Siten lisätään (vähennetään) nämä kaksi elementtiä (on tärkeää, että ne pysyvät samoissa kohdissa matriisissaan). Kun moninkertaistat matriisin numerolla tai vektorilla, yksinkertaisesti kerrotaan jokaisen matriisin elementti kyseisellä numerolla (tai vektorilla). Täytäntöönpano on erittäin mielenkiintoinen prosessi. On erittäin mielenkiintoista joskus nähdä se todellisessa elämässä, esimerkiksi vaihtamalla tabletin tai puhelimen suunnan. Työpöydän kuvakkeet ovat matriisia, ja kun asema muuttuu, se siirretään ja laajenee, mutta korkeus laskee.

Analysoimme matriisien monistumisprosessin. Vaikka se ei ole kätevää, on silti hyödyllistä tietää se. Kerro kaksi matriisi vain, jos yhden taulukon sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin toisen rivien lukumäärä. Nyt otamme yhden matriisin rivin elementit ja toisen vastaavan sarakkeen elementit. Me voimme moninkertaistaa ne toisiinsa ja lisätä ne sitten (esim. Elementtien tuotetta a₁₁ ja a₁₂ b₁₂ ja b₂₂ tulee olemaan: a₁₁* b₁₂ + a₁₂* b₂₂). Näin saamme yhden elementin taulukosta, ja se täytetään samalla tavalla edelleen.

Nyt voimme alkaa pohtia, miten lineaaristen yhtälöiden järjestelmä ratkaistaan.

Gauss-menetelmä

Tämä aihe alkaa olla koulussa. Tiedämme "kahden lineaarisen yhtälön järjestelmän" käsitteen hyvin ja pystymme ratkaisemaan ne. Mutta entä jos yhtälöiden määrä on suurempi kuin kaksi? Gauss-menetelmä auttaa meitä tässä.

Tietenkin on kätevää käyttää tätä menetelmää, jos teemme matriisin järjestelmästä. Mutta et voi muuttaa sitä ja ratkaista sen puhtaassa muodossa.

Joten, miten tämä järjestelmä voidaan ratkaista lineaarisella järjestelmälläGaussian yhtälöt? Muuten, vaikka tämä menetelmä on nimetty hänen mukaansa, mutta se löydettiin muinaisina aikoina. Gauss ehdottaa seuraavaa: suorittamaan operaatioita yhtälöillä, jotta lopulta koko kokonaisuus voidaan johtaa askelmamaiseen muotoon. Toisin sanoen on välttämätöntä, että ylhäältä alas (jos se on oikein järjestetty) ensimmäisestä yhtälöstä viimeiseen laskee yhden tuntemattoman. Toisin sanoen meidän on tehtävä se niin, että saamme esimerkiksi kolme yhtälöä: ensimmäiseltä - kolmelta tuntemattomalta, toisessa - kaksi, kolmannessa. Sitten viimeisestä yhtälöstä löydetään ensimmäinen tuntematon, korvataan sen arvo toisessa tai ensimmäisessä yhtälössä ja löydetään loput kaksi muuttujaa.

Cramerin menetelmä

Tämän menetelmän hallinta on elintärkeääOmistaa taitojen lisäys, vähennys matriisit, ja myös on välttämätöntä löytää tekijöitä. Siksi, jos teet sen huonosti tai et tiedä miten, sinun on opittava ja harjoitettava.

Mikä on tämän menetelmän ydin ja miten se tehdään niinSaatiin Cramerin lineaaristen yhtälöiden järjestelmä? Se on hyvin yksinkertainen. Meidän täytyy rakentaa matriisi numerot (lähes aina) kertoimet lineaarisen algebrallisia yhtälöitä. Voit tehdä tämän yksinkertaisesti ottaa numero tuntematon, ja järjestämme pöydän järjestyksessä kuin ne on tallennettu järjestelmään. Jos numeron eteen on merkki "-", sitten kirjoittaa negatiivinen kerroin. Niin, teimme ensimmäinen matriisi kertoimien tuntemattomien, ei kuten numero suuri merkin jälkeen (tietenkin, että yhtälö on vähennettävä kanoninen muoto, kun oikea on vain numero, ja vasen - kaikki tuntemattomia kertoimia). Sitten meidän on luotava useita matriiseja, yksi jokaiselle muuttujalle. Tätä tarkoitusta varten, että ensimmäinen matriisi on korvattu yhden sarakkeen kunkin sarakkeen numerot kertoimien kanssa yhtä suuri merkin jälkeen. Siten saamme useita matriiseja ja löydämme sitten niiden determinantit.

Kun löysimme määritelmät, asia onpieni. Meillä on alkuperäinen matriisi, ja on olemassa useita johdettuja matriiseja, jotka vastaavat eri muuttujia. Jotta saisimme järjestelmäratkaisut, jaamme saadun taulukon determinantin alkuperäisen taulukon määrittäjänä. Tuloksena oleva luku on jonkin muuttujan arvo. Samoin löydämme kaikki tuntemattomat.

Muut menetelmät

On olemassa useita muita menetelmiäjotta saadaan ratkaisu lineaaristen yhtälöiden järjestelmiin. Esimerkiksi ns. Gauss-Jordan -menetelmä, jota käytetään löytämään ratkaisuja kvadraattisten yhtälöiden järjestelmään, liittyy myös matriisien käyttöön. On olemassa myös Jacobi-menetelmä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän ratkaisemiseksi. Se soveltuu parhaiten tietokoneeseen ja sitä käytetään tietokonetekniikassa.

Monimutkaiset tapaukset

Yleensä esiintyy monimutkaisuutta, jos yhtälöiden määrävähemmän kuin muuttujien määrä. Silloin voimme tietysti sanoa, että joko järjestelmä ei ole yhteensopiva (eli sillä ei ole juuria) tai sen ratkaisujen määrä pyrkii ääretön. Jos meillä on toinen tapaus, meidän on kirjattava lineaaristen yhtälöiden yleinen ratkaisu. Se sisältää vähintään yhden muuttujan.

johtopäätös

Joten pääsimme loppuun. Oletetaan, että olemme analysoineet järjestelmän ja matriisin ja opimme löytämään lineaaristen yhtälöiden yleisen ratkaisun. Lisäksi tarkastelimme muita vaihtoehtoja. He selvittivät, miten lineaaristen yhtälöiden järjestelmä ratkaistaan: Gauss-menetelmä ja Cramer-menetelmä. Keskustelimme monimutkaisista tapauksista ja muista ratkaisuvaihtoehdoista.

Itse asiassa tämä aihe on paljon laajempi, ja jos haluat ymmärtää sitä paremmin, suosittelemme lukemaan erikoistuneita kirjallisuutta.